変圧器結合複同調回路

図1(a)のように2つの共振回路が結合した回路を複同調回路といいます。 図(b)は変圧器をZパラメータ等価回路で表現したもの、図(c)は信号源を電圧源に等価変換したものです。

図1: 複同調回路と等価回路

ゲインを求めるには、図1(c)の1次側及び2次側の閉路についてキルヒホッフの電圧則を適用します。Z=R+jωL+1/(jωC)とおくと

\begin{align} &ZI_1+j\omega kL I_2=-\frac{g_m}{j\omega C}V_{in}\\ &j\omega kLI_1+ZI_2=0 \end{align}

となります(kは2つのインダクタの結合係数)。I2について解くと

\begin{align} I_2= \frac{\begin{vmatrix}Z&-\frac{g_m}{j\omega C}V_{in}\\j\omega kL&0\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}Z&j\omega kL\\j\omega kL&Z\end{vmatrix}} =\frac{g_m\omega kL}{\omega C}\frac{1}{Z^2+\omega^2k^2L^2}V_{in} \end{align}

が得られます。Voutは次式のようになります。

\begin{align} V_{out}=\frac{-I_2}{j\omega C}=\frac{jg_m\omega kL}{\omega^2C^2}\frac{1}{Z^2+\omega^2k^2L^2}V_{in} \end{align}

共振周波数ω0=1/(LC)1/2の近傍では

\begin{align} Z&\approx R(1+j2\delta Q)\ ,\ \delta=\frac{\omega-\omega_0}{\omega_0} \\ \omega L&\approx \omega_0 L=QR\\ \frac{1}{\omega C}&\approx \frac{1}{\omega_0C}=QR \end{align}

と近似でき、

\begin{align} \text{ゲイン:}\quad A_v&=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{jg_mRQ^2}{2}\frac{2K}{(1+K^2-x^2)+j2x}\\ |A_v|&=\frac{g_mRQ^2}{2}\frac{2K}{\sqrt{x^4+2(1-K^2)x^2+(1+K^2)^2}} \end{align}

となります(ただし、x=2δQ, K=kQ)。 K>1の場合は双峰特性、K≤1の場合は単峰特性となります。

\begin{align} |A_v|_{\text{max}}= \begin{cases}\frac{g_mRQ^2}{2}\ @x=\pm\sqrt{K^2-1}&\text{for } K\gt 1\\ \frac{g_mRQ^2}{2}\frac{2K}{1+K^2}\ @x=0&\text{for }K\le 1 \end{cases} \end{align}

K=1の場合を臨界結合といい、ゲイン及び帯域幅BWは次式のようになります。

\begin{align} |A_v|&=\frac{g_mRQ^2}{2}\frac{1}{\sqrt{1+4\delta^4Q^4}}\\ \text{BW}&=\frac{\sqrt{2}\omega_0}{Q} \end{align}