素子感度(sensitivity)計算方法

素子感度とは

図1の回路のカットオフ周波数はω0=1/(RC) rad/sですが、抵抗Rが1%ずれたらカットオフ周波数は何%変化するでしょうか?

図1: 1次RC回路

これを求めるには、ω0をRの関数と考えます。RがΔRだけ変化したときのω0の変化は

\begin{align} \Delta\omega_0 = \omega_0(R+\Delta R)-\omega_0(R)=\frac{\partial \omega_0}{\partial R}\Delta R \end{align}

となります。ω0の変化率(何倍になったか)は、上式をω0で割って

\begin{align} \label{eq:sensitivity_1} \text{カットオフ周波数の変化率:}\quad \frac{\Delta\omega_0}{\omega_0} = \frac{\partial \omega_0}{\partial R}\frac{\Delta R}{\omega_0} =\frac{R}{\omega_0}\frac{\partial \omega_0}{\partial R}\left(\frac{\Delta R}{R}\right) \end{align}

となります。実際に計算してみると、$\frac{\partial \omega_0}{\partial R}=-\frac{1}{R^2C}=-\frac{\omega_0}{R}$より

\begin{align} \text{カットオフ周波数の変化率:}\quad \frac{\Delta\omega_0}{\omega_0} = -1\times \frac{\Delta R}{R} \end{align}

となります。上式よりΔR/R=0.01 つまりRが1%変化すると、Δω00=−0.01 つまりω0は−1%変化することが分かります。 (\ref{eq:sensitivity_1})式より、ω0の変化率とRの変化率の比を$S_R^{\omega_0}$と表記すると

\begin{align} S_R^{\omega_0}=\frac{R}{\omega_0}\frac{\partial \omega_0}{\partial R} \end{align}

となります。これを素子感度といいます。この例では素子感度$S_R^{\omega_0}$が−1なので、Rの変化率とω0の変化率は大きさが同じで極性が逆になります。


素子感度の定義

あるパラメータPがxの関数であるとき、xの変化率に対するPの変化率を素子感度(sensitivity)といい、$S_x^P$と表記します。

\begin{align} S_x^P=\frac{\frac{P(x+\Delta x)-P(x)}{P(x)}}{\frac{\Delta x}{x}}=\frac{x}{P}\frac{\partial P}{\partial x} \end{align}

素子感度計算例: 固定バイアス回路のβばらつきによるコレクタ電流の感度

固定バイアス回路において、トランジスタの電流増幅率βのばらつきによるコレクタ電流ICの感度$S_\beta^{I_C}$を計算します。

図2: 固定バイアス回路

図2よりICとβの関係式を求めます。VCC→RB→VBEの経路におけるキルヒホッフの電圧則より

\begin{align} &V_{CC}=R_BI_B+V_{BE}\\ \rightleftharpoons\ &V_{CC}=R_B\frac{I_C}{\beta}+V_{BE} \end{align}

上式が固定バイアス回路におけるICとβの関係式です。感度を求めるには、βを独立変数、ICをβの関数と考えて、βで微分します。簡単のためVBEを定数と考えると

\begin{align} &0=\frac{R_B}{\beta}\frac{\partial I_C}{\partial\beta}-\frac{R_BI_C}{\beta^2}+0\\ \rightleftharpoons\ &\frac{\partial I_C}{\partial\beta}=\frac{I_C}{\beta} \end{align}

となります。上式より素子感度

固定バイアス回路のβばらつきによるICの感度
\begin{align} S_\beta^{I_C}=\frac{\beta}{I_C}\frac{\partial I_C}{\partial \beta}=1 \end{align}

が得られます。固定バイアス回路は、βがばらつくとICも同じ割合だけ変化することがわかります。


素子感度計算例: 電流帰還バイアス回路のβばらつきによるコレクタ電流の感度

電流帰還バイアス回路において、トランジスタの電流増幅率βのばらつきによるコレクタ電流ICの感度$S_\beta^{I_C}$を計算します。 まず、図3(a)のR1,R2部分をテブナンの定理を利用して図(b)のように等価変換します。

図3: 電流帰還バイアス回路

図3(b)よりICとβの関係式を求めます。VB→RB→VBE→REの経路におけるキルヒホッフの電圧則より

\begin{align} V_B&=I_BR_B+ V_{BE}+(I_C+I_B)R_E\\ &=\frac{I_C}{\beta}R_B+V_{BE}+\left(1+\frac{1}{\beta}\right)R_EI_C\\ &=\left[\frac{R_B}{\beta}+\left(1+\frac{1}{\beta}\right)R_E\right]I_C+V_{BE} \end{align}

となります。βを独立変数、ICをβの関数と考えて、βで微分します。簡単のためVBEを定数と考えると

\begin{align} 0=\left[\frac{R_B}{\beta}+\left(1+\frac{1}{\beta}\right)R_E\right]\frac{\partial I_C}{\partial\beta}-\left(\frac{R_B}{\beta^2}+\frac{R_E}{\beta^2}\right)I_C+0 \end{align}

よって素子感度は

電流帰還バイアス回路のβばらつきによるICの感度
\begin{align} S_{\beta}^{I_C} = \frac{\beta}{I_C}\frac{\partial I_C}{\partial \beta} =\frac{1+\frac{R_E}{R_B}}{1+(1+\beta)\frac{R_E}{R_B}} \end{align}

となります。通常REは1kΩ程度、RBは数10kΩなので、RB/RE=1/10、β=100として計算すると

\begin{align} S_{\beta}^{I_C} = \frac{1+\frac{R_E}{R_B}}{1+(1+\beta)\frac{R_E}{R_B}}\approx \frac{1}{10} \end{align}

となります。βのばらつきによるICの変化が固定バイアスの場合の1/10程度となることが分かります。