フーリエ級数とフーリエ変換の関係

図1のような時間幅T0の信号x(t)の周波数成分を求めるにはいくつかの方法があります。

表1: x(t)の解析方法
周期T0で繰り返す周期関数として解析複素フーリエ級数
孤立パルスとして解析連続時間フーリエ変換
N点でサンプリングし、周期T0で繰り返す周期関数として解析離散フーリエ変換(DFT)
N点でサンプリングし、孤立パルスとして解析離散時間フーリエ変換(DTFT), Z変換
図1: 解析対象信号

複素フーリエ級数

\begin{align} \text{周波数成分:}\quad &C_k =\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} x(t)e^{-jk\omega_0 t}dt\ ,\ \omega_0=\frac{2\pi}{T_0}\\ \text{逆変換:}\quad &x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} C_ke^{jk\omega_0 t} \end{align}
図2: 複素フーリエ級数

連続時間フーリエ変換

\begin{align} \text{周波数成分:}\quad &X_c(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\\ \text{逆変換:}\quad &x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X_c(\omega)e^{j\omega t}d\omega \end{align}
図3: 連続フーリエ変換

離散フーリエ変換(DFT)

\begin{align} \text{周波数成分:}\quad &X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-\frac{2\pi k}{N}n}\\ \text{逆変換:}\quad &x_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X_ke^{\frac{2\pi k}{N}n} \end{align}
図4: 離散フーリエ変換

離散時間フーリエ変換(DTFT)

\begin{align} \text{周波数成分:}\quad & X_s(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty x_n e^{-j\Omega n}\ ,\ \Omega=\omega T_s\\ \text{逆変換:}\quad &x_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X_s(\Omega)e^{j\Omega n}d\Omega \end{align}
図5: 離散時間フーリエ変換

各種変換の関係

\begin{align} \text{複素フーリエ級数と連続時間フーリエ変換の関係:}\quad &C_k = \frac{X_c(k\omega_0)}{T_0}\\ \text{複素フーリエ級数と離散フーリエ変換の関係:}\quad &C_k = \frac{X_k}{N}\\ \text{離散フーリエ変換と連続時間フーリエ変換の関係:}\quad &X_k = \frac{X_c(k\omega_0)}{T_s}\\ \text{離散時間フーリエ変換と連続時間フーリエ変換の関係:}\quad &X_s(\omega) = \frac{X_c(\omega)}{T_s}\\ \text{離散フーリエ変換と離散時間フーリエ変換の関係:}\quad &X_k = X_s(k\omega_0) \end{align}