2次RCフィルタ

1次RCフィルタを従属接続すると2次フィルタとなります。ただし、Qが1/2以上にはなりません。

2次RC LPF

\begin{align} H(s)&=\frac{\frac{1}{C_1C_2R_1R_2}}{s^2+\left(\frac{1}{C_1R_1}+\frac{1}{C_1R_2}+\frac{1}{C_2R_2}\right)s+\frac{1}{C_1C_2R_1R_2}} =\frac{\omega_0^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q}s+\omega_0^2}\\ \omega_0&=\frac{1}{C_1C_2R_1R_2} \ ,\ Q=\frac{1}{\sqrt{\frac{C_2R_2}{C_1R_1}}+\sqrt{\frac{C_1R_1}{C_2R_2}}+\sqrt{\frac{C_2R_1}{C_1R_2}}} \end{align}

相加平均と相乗平均の関係より、Qの式の分母の第1項と第2項の和は2以上となります。よって

\begin{align} Q\le \frac{1}{2+\sqrt{\frac{C_2R_1}{C_1R_2}}} \lt \frac{1}{2} \end{align}

となります。

2次RC HPF

\begin{align} H(s)&=\frac{s^2}{s^2+\left(\frac{1}{C_1R_1}+\frac{1}{C_1R_2}+\frac{1}{C_2R_2}\right)s+\frac{1}{C_1C_2R_1R_2}} =\frac{s^2}{s^2+\frac{\omega_0}{Q}s+\omega_0^2}\\ \omega_0&=\frac{1}{C_1C_2R_1R_2} \ ,\ Q=\frac{1}{\sqrt{\frac{C_2R_2}{C_1R_1}}+\sqrt{\frac{C_1R_1}{C_2R_2}}+\sqrt{\frac{C_2R_1}{C_1R_2}}} \end{align}

2次RC BPF

\begin{align} H(s)&=\frac{\frac{1}{C_1R_1}s}{s^2+\left(\frac{1}{C_1R_1}+\frac{1}{C_1R_2}+\frac{1}{C_2R_2}\right)s+\frac{1}{C_1C_2R_1R_2}} =H_0\frac{\frac{\omega_0}{Q}s}{s^2+\frac{\omega_0}{Q}s+\omega_0^2}\\ \omega_0&=\frac{1}{C_1C_2R_1R_2} \ ,\ Q=\frac{1}{\sqrt{\frac{C_2R_2}{C_1R_1}}+\sqrt{\frac{C_1R_1}{C_2R_2}}+\sqrt{\frac{C_2R_1}{C_1R_2}}}\\ H_0&=\frac{1}{1+\left(1+\frac{C_1}{C_2}\right)\frac{R_1}{R_2}} \end{align}