変圧器(トランス)の等価回路


変圧器のZパラメータ等価回路

変圧器(トランス)は、図1(a)の1次側に電流I1を流すと磁束φ1が生じて2次側に電圧を発生させ、2次側に電流I2を流すと磁束φ2が生じて1次側に電圧を発生させます。電流-電圧特性は次式のようになります。

変圧器の電流-電圧特性
\begin{align} V_1 &= j\omega L_1 I_1 + j\omega MI_2\\ V_2 &= j\omega M I_1 + j\omega L_2I_2\\ \text{相互インダクタンス:}\quad M&=k\sqrt{L_1L_2}\ ,\ \text{$k$は結合係数} \end{align}

自己インダクタンスL1,L2はそれぞれの巻数の自乗に比例します(L1∝N12, L2∝N22)。 結合係数kは、図1(a)のようにI1がつくる磁束とI2がつくる磁束の向きが同じ場合は正、2次側の巻く向きを逆にして磁束の向きが反対になるようにした場合は負となります。

図1: 変圧器のZパラメータ等価回路

蜜結合変圧器と理想変圧器

磁束のもれがない変圧器を蜜結合変圧器といい、結合係数kが+1または−1となります。k=1の場合の電流-電圧特性は次式のようになります。

蜜結合変圧器(k=1)の電流-電圧特性
\begin{align} V_1 &= j\omega L_1 I_1 + j\omega \sqrt{L_1L_2}I_2\\ V_2 &= j\omega \sqrt{L_1L_2}I_1 + j\omega L_2I_2 \end{align}

第1式を変形すると

\begin{align} V_1=\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}\left(j\omega\sqrt{L_1L_2}I_1+j\omega L_2I_2\right)=\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}V_2=\frac{N_1}{N_2}V_2 \end{align}

と、1次側電圧と2次側電圧の比=巻線比となります。

理想変圧器との関係

上の電流-電圧特性の式をHパラメータ及びGパラメータ等価回路で表すと図2のようになります。 この等価回路において、巻線比を一定に保ったままインダクタンスを無限大(巻数またはコアの透磁率を無限大)にすると、点線部分が残ります。この部分を理想変圧器といい、1次側電圧/2次側電圧=N1/N2, 1次側電流/2次側電流=N2/N1となります。

図2: 蜜結合変圧器(k=1)の等価回路

理想変圧器の特性

理想変圧器は、蜜結合変圧器の巻線比を一定に保ったままインダクタンスを無限大にしたもので、HパラメータまたはGパラメータで表すことができます。1次側と2次側の巻線比をN:1とすると、電圧比及び電流比は

\begin{align} V_1:V_2=N:1\\ I_1:I_2'=1:N \end{align}

となります。上式より理想変圧器の内部に蓄えられる電力、消費される電力は0となります。

図3: 理想変圧器の等価回路

Fパラメータ

図3(a)の理想変圧器のFパラメータは

\begin{align} F=\begin{bmatrix}N&0\\0&\frac{1}{N}\end{bmatrix} \end{align}

となります。(b)についてはN→1/Nとします。Fパラメータの(1,1)要素は1/電圧ゲイン、(2,2)要素は1/電流ゲインとなります。

理想変圧器によるインピーダンス変換

図4(a)を等価変換すると(b)に、(c)を等価変換すると(d)になります。このように、巻線比N:1の理想変圧器の2次側に接続したインピーダンスは、1次側から見るとN2倍に見えます。

図4: 理想変圧器による1次側への換算

実用的な等価回路: 変圧器のHパラメータ等価回路、Gパラメータ等価回路

変圧器を含む電子回路を解析する際、図1のZパラメータ等価回路では入力インピーダンスやゲインがどうなるのか分かりにくいので、HパラメータまたはGパラメータ等価回路に変換します。

図5(a)は図1(b)をHパラメータ等価回路に変換したもので、点線部分が理想変圧器となります。このように、変圧器は理想変圧器を使用した等価回路として表すことができます。 図5(b)は(a)のL2を1次側に移動したもので、L2に巻線比の自乗が乗じられk2L1となります。

図5: 変圧器のHパラメータ等価回路

図5(b)は、「インダクタL1は結合に寄与する成分k2L1と寄与しない成分(1−k2)L1から構成され、結合に寄与する成分k2L1は、L2と蜜結合変圧器を構成する」と解釈できます。巻線比はインダクタンス比の平方根なので$\sqrt{k^2L_1/L_2}:1=k\sqrt{L_1/L_2}:1$となります。

図6(a)は図1(b)をGパラメータ等価回路に変換したもので、点線部分が理想変圧器となります。図6(b)は(a)のL1を2次側に移動したものです。

図6: 変圧器のGパラメータ等価回路